흑체 복사와 레일리 진스 법칙 유도

양자역학의 시작은 우리가 배우는 물리와 상이하게 다르다. 여기서 "다르다"라는 것은 이를 배우지 않은 사람은 이해하기 조차 어려울 정도로 근본적인 차이가 있다. (내가 느끼기에는)

 

여러 영상이나 책에서 양자역학을 간단하게 설명하려고 많은 노력을 하지만 거의 겉핥기에 불과하고 그 속에는 몇마디 말로 간단히 표현할 수 없는 무언가가 숨어있다. 

 

세상에서 가장 유명한 물리학자중 한명인 리처드 파인만은 양자역학을 수업할 때

 

“양자역학이 무엇인지 이해했다고 말하는 사람이 있다면, 그것은 새빨간 거짓말이다”  

 

 

라고 표현했을 정도이다. 그리고 실제로 이 말은 맞는 말 같다. 

 

주의 : 학부 3학년 수업을 기반으로 독학하고 풀이한 내용을 기반으로 하기에 오류가 있을 수 있습니다. 엄밀한 증명과 수식적인 부분에서 문제가 있다면 댓글로 남겨주세요.

 

1.1 흑체 복사란??

일반적으로 물질의 온도가 일정 수준 이상으로 올라가면 온도에 의해 빛이 방출되기 시작한다. 이는 물질의 종류와 상관없이 온도에 의해서만 발생하는 현상이다. 

 

어쩌면 이는 너무 당연한 현상처럼 보이기도 하지만 실상 잘 생각해보면 생각보다 신기한 현상이다. 흑체 복사란 이러한 온도가 높은 물질에서 방출되는 빛에 대한 현상을 설명하는 말이다. 

 

온도가 높은 물질은 위의 그래프처럼 빛을 방출한다. 온도가 높을 수록 빛의 세기는 당연히 강해지지만 방출되는 빛의 스펙트럼은 다른 문제가 된다.즉 높은 온도의 물질이 빨간 빛을 내보내는지 파란빛을 내보내는지, 적외선 & 자외선을 내보내는지는 그 당시 독일의 과학자들에게 중요한 문제가 되었다. 

 

가열된 물체에서 방출되는 복사에 대한 연구는 1859년 독일의 물리학자인 키르히호프에 의해 시작되었다. (그 유명한 키르히호프 법칙 주인)  

 

그는 빛의 스펙트럼을 바탕으로 이를 설명하는 이론을 정립해보려고 했고 실험적으로 이를 구현 하기 위해 빛의 모든 파장을 흡수하는 검은색 물체를 가지고 그 검은색 물체의 속을 비운 후 작은 구멍을 뚫고 온도를 높여 평형상태에서 방출되는 빛을 측정했다. 

 

 

이 실험을 통해서 그는 복사되는 빛의 양의 세기가 온도와 방출되는 빛에 대한 함수로 표현될 수 있다는 것을 알아냈다. 방출되는 빛은 높은 광자부터 천천히 증가하다 어느 기점의 빛을 가장 많이 방출하고 적외선 구간으로 갈수록 줄어들었다. 

 

이제 문제는 이를 설명할 공식을 만드는 것이다. 이 문제는 유명한 "흑체복사"문제가 되어 그 당시 물리학자들을 괴롭혔으며 결국 막스플랑크가 의도하지 않게 양자역학의 기본이 되는 발견을 해내는 계기가 되었다. 

 

 

1.2 슈테판 볼츠만 법칙

키르히호프가 이러한 사실을 밝혀낸 이후 사람들은 고전물리의 기본적인 내용을 바탕으로 데이터를 설명하기 위한 수식을 만들기 위해 노력했다.

 

1879년 요제프 슈테판은 열복사의 세기가 절대온도의 네제곱에 비례한다는 것을 귀납적으로 증명하였고 이후 볼츠만이 고전물리를 이용하여 이를 이론적으로 증명하여 흑체 복사에 대한 하나의 측면이 해결되었다. 

 

볼츠만은 복사압과 내부 에너지 밀도의 관계를 바탕으로 열역학적인 유도를 통해 열복사의 세기와 온도의 관계에 대한 공식을 성공적으로 만들었지만, 열복사 세기는 스펙트럼 전체를 적분한 것에 해당 되기에 스펙트럼을 설명한 공식을 만든 것은 아니었다. 

 

 

 

1.3 레일리-진스 법칙

1900년 레일리는 흑체 복사의 스펙트럼을 설명하기 위해 고전적인 빛의 전파를 바탕으로 평형상태의 흑체에서 방출되는 전자기파의 스펙트럼을 계산한다. 

레일리의 아이디어는 매우 단순하다. 흑체 내부의 전자기파가 존재할 때 흑체 상자는 정해진 크기가 있으므로 내부에 전자기파는 정상파를 제외하고는 상쇄간섭되어 사라진다. 결국 평균적으로 광자들은 진공속에서 전자기파와 유사하게 다룰 수 있다.

고전적인 전자기파의 파동 방정식은 시간에 따라 전기장, 자기장의 2계도 편미분의 공식으로 설명할 수 있으므로 특정 전자기파의 파동 방정식을 서술할 수 있다.  

이때 특정 전자기파 (광자 1개)의 에너지는 다음과 같이 나타낼 수 있다. 

이때 전자기파의 에너지는 E와 B가 커짐에 따라 커지고 작아진다. 이 관계는 물리에서 자주 사용하는 스프링 문제인 조화진동자와 유사하게 가정할 수 있다.  

결과적으로 전자기파의 에너지를 조화진동자의 에너지라고 가정할 수 있고 전자기파의 변수를 사용하여 H'를 운동량에 대한 변수로 잡을 수 있다.  이 운동량은 빛의 파장과 연결된다. 

 

처음 레일리의 가정을 다시 사용하여  이를 3차원 박스 안에서 정상파인 파동을 설명한다면 nx, ny, nz의 파수를 각각 가지는 K를 가정할 수 있다.

 

양자역학을 처음 배우는 사람은 가끔 파수의 개념이 양자화와 바로 연결되며 이것이 양자역학이라고 생각하는데, 지금 설명하는 모든 개념은 양자역학이 등장하기 전에 이미 있던 개념이다. 레일리 진스 법칙은 순수히 고전역학에서 유도되는 것이다. 

 

이제 이 문제는 3차원에서 임의의 공간에 일정한 간격( 2PI/L )으로 점이 찍혀있고 이 점 하나마다 전자기파의 에너지가 결정되는 상황에 있을때 특정 K값을 가지는 점들의 개수를 세는 것과 동일하다. (잘 이해해보기 바란다)  

그렇다면 격자점의 거리는 2PI/L인 3차원 그리드가 있다고 가정할 때 특정 주파수 w (혹은 파장 람다)를 가지는 모드는 노란색의 두께가 dk인 구의 표면적 위에 있는 점의 개수를 세면 된다. 

 

그 개수는 d3n 으로 전자기파의 편광 계수인 2를 곱하여 위와 같이 표현된다. (편광에 의해 같은 에너지에 빛이 2개가 되기에) 

 

파수와 빛의 주파수 관계성을 넣어주면 다음과 같은 식으로 유도된다. 이제 우리는 흑체복사 안에 공동에서 전자기파의 수를 셀수 있다. 

 

이제 등가이론 (equipartion theorem)에 의해 각 전자기파에 해당되는 평균에너지를 모두 같다고 가정하고 볼츠만 상수를 가정하여 각 개수마다 KT의 에너지를 가지고 있다고 한다면 

특정 파장부터 미소구간의 파장을 적분하여 에너지를 구하면 위와 같은 식을 유도할 수 있고

이로부터 레일리 진스 공식을 유도할 수 있다.