4. 7가지 기본격자와 브라베 격자

1. 회전 대칭의 상호 결합

결정에 존재하는 회전대칭은 축을 기준으로 n만큼 회전이 가능하다. 앞선 포스팅에서 다루었듯 회전은 어느 각도로든 다 가능하지만 (https://yumy.tistory.com/98)단위셀이 무한히 반복된 격자 내에서는 병진 이동을 허용하는 1,2,3,4,6 중 회전만 허용된다. 하지만 실제 결정은 3차원 내에 존재하고 회전축이 항상 90*로 결합하는 2차원과 다르게 회전축은 어느 각으로도 결합이 가능하다. 

 

 

하지만 여러개의 축이 항상 원하는 각도로 연결될 수 있는 것은 아니다. 평면에서 병진이동에 의해 대칭이 상쇄되어 가능한 회전이 제한된 것 처럼 여러개의 축들이 결합되며 대칭을 상쇄해버리기도 한다. 

 

3차원의 공간에서 대칭축이 교차할때는 항상 3개의 축이 교차해야 하고 이들의 각도 관계에서도 제한이 가해진다. 사실 실제로 존재하는 공간 대칭의 수는 그리 많지 않다. 

 

예를 들어 공간 상에서 6중 회전축과 2중 회전축 2개가 결합하는 상황을 생각하자. 

 

622 회전대칭

 

만일 6중 회전축은 공간에서 z축 방향으로 존재하고 있고 360/6 = 60 회전시 그 모습이 같아져야 한다. 그러므로 2중 회전축도 6중 회전축이 성립하게 회전되야 하며 그 모든 축은 아래 그림과 같아질 것이다. 

 

622 회전대칭의 모든 축

 

622 회전대칭에 우리가 임의의 축을 추가하여 6222축이라고 한다고 하더라도 이는 622 회전대칭의 모든 축중에 한개일 뿐이다. 전혀 이상한 위치에 2축을 생성한다면 6축 or 2축의 대칭성을 망가트리기에 존재할 수 없게 된다.  

 

임의로 만든 6222 축

 

622 회전 대칭이 결정상에서 어떻게 존재하는지 확인할 수 있다. 아래의 시뮬레이션을 마우스로 드래그 하여 공간을 돌릴 수 있고 키보드에서 C를 누르면 정면으로 보이는 축에 대해 10*씩 회전이동 할 수 있다. R을 누르면 전체 설정이 리셋된다.

 

 

 

2. 축간결합의 원리와 구면삼각형

우선 공간상에서 항상 3개의 축이 존재한다고 할때 3개의 축은 3개의 결합각도를 만든다. 1개의 회전축은 그 회전 축의 중심으로 몇도를 회전시켰을때 같은 모습이 되는지 (회전했을때 대칭이 성립하는지) 결정하는 각도가 있다. 이를 위의 그림에서는 대문자로 표시했다. 예를 들어 6 fold 회전축이라면 360/6 = 60, 즉 60도 회전시켰을때 똑같은 모습이 될것이다. 

 

 

하지만 우리는 위의 그림 오른쪽에서 보이듯이 대문자 A, B, C 각도 외에서 소문자 w, u, v로 표시되는 축간 결합각도 존재한다. 축간결합각은 두 축을 지나는 대원의 호 길이와 같아진다. (대원의 반지름은 항상 1이고 결국 단위원이기 때문). 결국 축이 서로 어떤 각도로 결합되어 있는지는 호의 길이를 알면 알 수 있다. (A축과 B축의 결합각은 w이다)

 

여기서 주의할 점은 축간 회전각과 축간 결합각이 혼동되기 쉽다는 것이다. 어떤 결합 종류에서는 축간 결합각과 축간 회전각이 똑같은 경우도 생긴다. 하지만 우리는 축간 회전각을 미리 알고 있는 상태에서 축간 결합각을 구해야 한다. 예를 들어 위의 회전대칭의 상호결합에서 봤던 622 회전결합의 경우에는 축 1개는 6 fold이고 나머지 축 2개는 2 fold가 된다. 

 

수학자 오일러가 증명한 구면좌표계의 관계에서 우리는 A, B, C와 w, u, v의 수학적 관계를 유도해낼 수 있다. 위의 축의 A, B, C가 반지름이 1인 구의 표면에 존재하는 점이라고 한다면, ABC는 구면삼각형을 이룬다. 그리고 그 구면삼각형 ABC의 변 길이는 w, u, v가 된다. 

 

 

구면삼각형의 제 2 코사인법칙에 의해 

 

$$ cos u = \frac{cos A/2+ cosB/2cosC/2}{sinB/2sinC/2} $$ 

$$ cos v = \frac{cos B + cosCcosA}{sinCsinA} $$ 

$$ cos w = \frac{cos C + cosAcosB}{sinAsinB} $$ 

 

가 성립해야 한다. 

 

이 각도관계에 의해 축들은 연결되어야 하며 이에 의해 가능한 조합에 제한이 생긴다.