3. 공간상의 대칭 (5가지 회전 대칭)

1. 복합적인 대칭요소

앞선 포스팅에서 다뤘던 대칭요소에서는 대칭은 4가지로 분류되었다. 하지만 4가지 대칭은 서로 독립적으로 존재하지 않는다. 대칭이 서로 독립적이라면 어떤 대칭이든 무한대의 대칭설정이 가능하지만 (예를 들어 29384-fold 처럼 말도 안되는 값도 가능할 수 있다) 실제로는 각 대칭요소들이 공간상에서 연결되어 있기에 가능한 경우의 수가 정해지게 된다.

실제로 가능한 공간상의 회전대칭(1-fold는 표기가 없다)

 

 

2. 5가지 회전 대칭 증명 

특히 회전대칭의 경우에는 1,2,3,4,6-fold만 공간상에 존재하고 나머지 대칭은 존재할 수 없다. 그 이유는 공간상에서는 회전대칭과 병진대칭이 동시에 존재하기 때문이다. 그 증명은 아래와 같다

우선 A라는 원자들이 한줄로 쌓여있는 상황에서 2번째 원자 줄을 쌓는다고 생각해보자. 2번째 줄의 원자들은 A가 있는 원자줄에서 얼마나 떨어지든(case 2), 얼마나 이탈해 있든(case 1) 상관 없지만 그 줄의 원자간 거리는 d로 똑같아야 한다.

이때 A'에서 alpha만큼 회전대칭을 하여 2번째 줄을 형성해야 한다. 결정에서는 병진대칭이 성립하면서 동시에 회전대칭이 성립해야 되기 때문이다. 반대편 원자인 A''에서도 마찬가지로 alpha만큼 회전대칭하여 2번째 줄을 이룰 것이다. 

이때 만들어진 2번째 줄도 병진대칭이 성립해야 하므로 d'은 d값에 정수배가 된다.(n은 정수) 이를 만족하는 alpha를 구하면 총 5가지의 대칭이 구해진다.  

n의 값	-1	0	1	2	3
(n-1)/2	-1	-1/2	0	1/2	1
alpha	180 (2-fold)	120 (3-fold)	90 (4-fold)	60 (6-fold)	0 (1-fold)