교류회로-C만의 회로

3. 정전용량만의 회로

커패시터는 매우 작은 두 판이 닿지 않고 떨어져 있는 형태로 전압이 가해짐에 따라 극판 사이로 전류가 흐르지 않고 전류가 축척된다.

콘덴서에는 전압이 가해짐에 따라 전하가 축적되고 이는 전압과 정전용량 상수에 비례한다.

$$Q=CV$$

커패시터만 존재하는 회로에서 커패시터의 전압은 전압기의 전압과 동일하므로 Q는 전압이 변함에 따라 같은 위상으로 변화한다.

$$\frac{dQ}{dt}=C\frac{dV}{dt}$$

이때 Q와 V를 시간에 대한 함수로 본다면 C를 상수로 둔 채로 미분할 수 있다. Q를 시간에 대해 미분하면 전류가 되므로 아래와 같은 식이 성립한다.

$$I=C\frac{dV}{dt}=C\frac{d{V}_{m}sin(wt)}{dt}$$

그러므로 전류의 공식은

$$I=Cw{V}_{m}cos(wt)$$

이때 cos(wt)는 1/2π만큼 빠른 sin(wt)이므로 cos(wt)=sin(wt+1/2π)가 된다.

$$I=Cw{V}_{m}sin(wt+\frac{1}{2}\pi )$$

즉 이 회로에서 전류의 위상은 전압보다 1/2π 만큼 빠르다.

 

3-1. 커패시턴스만의 회로 시뮬레이션

교류전원(V=Vmsin(wt))이 커패시턴스에 그대로 연결되어 있고 교류전원의 주파수는 60HZ, 최대 전압은 1V이다. 1/60초(0.016s)에 1주기가 지나가므로 0초부터 0.03초 사이를 확인한다. 

실제로 전압이 sin(wt)에 증가함에 따라 전류는 90도 빠르게 위상이 변화하고 전류의 크기는 전압과 정전용량과 주파수에 비례한다. 즉 커패시턴스가 작아지면 전류의 값은 작아진다.

$$I=Cw{V}_{m}sin(wt+\frac{1}{2}\pi )$$

실제로 커패시턴스가 10배 작아짐에 따라 전류의 값이 10배 줄어든다. 이상적인 커패시턴스는 저항요소가 없기에 손실이 발생하지 않고 커패시턴스가 커지면 커질수록 전류의 값이 무한정 커지게 된다.