임피던스_임피던스의 정의와 유도

직류전압이 아닌 교류전압이 계에 주어졌을 경우 3소자의 거동은 직류전원과 완전히 다른 모습을 보인다. 교류전압은 시간에 따라 전위차가 변화하는데 주로 사인파의 형태를 보이게 된다. 이때의 교류전압의 형태는 Vac(t)= V0 Sin(wt) 의 함수로 나타낼 수 있다. (w =2PI*f 진동수)

 

이때 저항의 경우 V=IR의 옴의 법칙이 그대로 성립하여 I = V/R의 관계식이 성립하며 Iac(t) = I0Sin(wt)의 전류 방정식을 갖게되며 이는 위상차가 존재하지 않고 전압의 증가에 따라 선형적인 증가 특성을 보여준다.

커패시턴스가 포함된 회로의 경우는 Q=CV가 성립하는데, 콘덴서에는 전압이 가해짐에 따라 전하가 축적되고 이는 전압과 정전용량 상수에 비례한다. 커패시터만 존재하는 회로에서 커패시터의 전압은 전압기의 전압과 동일하므로 Q는 전압이 변함에 따라 같은 위상으로 변화한다

 

$$\frac{dQ}{dt}=C\frac{dV}{dt}$$

 

이때 Q와 V를 시간에 대한 함수로 본다면 C를 상수로 둔 채로 미분할 수 있다. Q를 시간에 대해 미분하면 전류가 되므로 아래와 같은 식이 성립한다

 

$$ I=C\frac{dV}{dt}=C\frac{dV_msin\left(wt\right)}{dt} $$

 

그러므로 전류의 공식은 아래와 같이 sin함수의 미분인 cos함수의 형태로 유도되는데

 

$$ I=CwV_mcos\left(wt\right) $$

 

이때 cos(wt)는 1/2π만큼 빠른 sin(wt)이므로 cos(wt)=sin(wt+1/2π)가 된다.

$$ I=CwV_msin\left(wt+\frac{1}{2}\pi\right) $$

즉 이 회로에서 전류의 위상은 전압보다 1/2π 만큼 빠르다. 이는 어떤 경우에서도 성립한다.

인덕턴스가 포함된 회로의 경우는 인덕턴스의 역기전력이 입력되는 전압에 대해 같이 커지는데

$$ V_L=-N\frac{d\phi}{dt} $$

이때 자기유도의 원리에 따라 자체 인덕턴스 비례상수인 L은 코일의 감긴수와 자속에 비례하고 전류에 반비례 하므로

$$ L=\frac{N\phi}{I} $$

결국 인덕턴스의 전압은 비례상수인 L과 전류의 변화율에 비례한다.

$$ V_L=-N\frac{d\phi}{dt}=-L\frac{dI}{dt} $$

 

인덕턴스 1개만이 존재하는 회로에서 전압이 증가함에 따라 인덕턴스에 걸리는 전압도 V = Vmsin(wt) 로 증가하는데 그렇

다면 아래 식이 성립하고

$$ V_msin\left(wt\right)=L\frac{dI}{dt} $$
$$ \frac{dI}{dt}=V_msin\left(wt\right) $$
$$ I=-\frac{V_m}{Lw}cos\left(wt\right) $$

이때 -cos(wt)는 sin(wt-1/2)와 같으므로 위의 식은 커패시턴스의 위상차의 반대가 된다.

$$ I=\frac{V_m}{Lw}sin\left(wt-\frac{1}{2}\pi\right) $$

 

인덕턴스에 걸리는 전압은 V = Vmsin(wt)이며 전류의 값은 I = V/Lw sin(wt-1/2)가 된다. 즉 전류의 위상은 전압보다 1/2PI 빠르다.

 

결국 3가지 회로요소들은 거의 교류전압이 가해짐에 따라 전류의 위상을 전압보다 한 템포 빠르게 만들거나 늦추거나 변화시키지 않는다. 이때 위상이란 사인, 혹은 코사인 함수에서 주기와 파장은 변하지 않는 상태에서 함수의 평행이동을 의미하게 되는데 우리가 다루는 기본적인 사인함수에서 360도(2*PI)를 평행이동하면 같아지므로 위상의 최대값은 2PI가 되게된다.

 

이때 중요한 것은 저항, 커패시턴스, 인덕턴스의 위상지연은 수학적으로 항상 90만큼의 각도차이가 존재하게 되고, 각 요소들의 값의 차이에 따라 화살표의 크기가 커지거나 작아질 뿐 위상지연과 위상당김 사이에는 항상 90의 차이가 난다는 것이다.

 

 

이를 바탕으로 RLC의 요소가 모두 모여있는 계에서는 각 회로 요소들에 의한 값이 상호작용하며 키로히호프 전압 강하 법칙에 의해 모든 소자를 거친 전압 강하는 총 0이 되어야만 한다. 결국 회로의 미분방정식들은 선형중첩되며 시간에 따른 전류의 방정식은 페이저를 나타내는 평면에서 각 요소들의 벡터를 더하는 방식으로 계산될 수 있다.

 

앞에서 유도된 방정식을 페이저를 사용하는 평면에서 분석하기 위해 저항인 부분을 실수인 x축으로 설정한 후 커패시턴스, 인덕턴스에 대한 부분을 y축으로 사용하기 위해 허수를 붙인다. 계산의 편의성을 위해 일부 상수들을 치환하고 복소벡터로 이를 표현하자. (참고로 허수를 i가 아닌 j라고 부르는 이유는 i가 전류를 나타내기 때문이라는 이유에서 조금은 어이없는 이유에서 비롯되었지만, 관행적으로 사용되는데다 식을 전개할 때 편한 부분이 있으므로 그대로 사용하기로 하자. j =/-1) 

 

$$ I\left(t\right)_C=\frac{V_m}{R},I\left(t\right)_C=CwV_msin\left(wt+\frac{1}{2}\pi\right),\ {I\left(t\right)}_L=\frac{V_m}{Lw}sin\left(wt-\frac{1}{2}\pi\right) $$

$$ \vec{I_R}=\frac{V}{R},\ \ \vec{I_C}=-\frac{V}{jX_C},\ \ \ \vec{I_L}=\frac{V}{jX_L} $$

이때의 상수가 되는 1/wC와 wL를 묶어 리액턴스라고 정의하며, 각각을 용량 리액턴스, 유도 리액턴스라고 한다.

 

$$ X_C=\frac{1}{wC},\ \ X_L=wL $$

이 관계식들은 x축에 대하여 I가 도해된 위치에 상관없이 지켜져야 하는데, 전체 전압이 가해질 때 전류는 모든 소자에서 같지만 전압은 각 부분의 소자가 각각의 전압강하를 겪으며 달라지게 되므로 전압에 대한 식으로 변환하는 것이 적절하다. 

이에 따라 중요한 것은 전압에 대한 전류의 양이므로 이를 통해 가해진 전압에 따라 전류가 어떻게 달라지게 되는지에 대한 이해를 얻을 수 있다. 언제나 옴의 법칙에 따라 저항은 전압과 전류에게서 얻어지고 전압강하 법칙에 따라 모든 소자에 걸린 전압의 합은 0이 되므로

 

$$ {V\ =\ V}_R{+V}_C{+V}_L $$
 
$$ V=I\left(R-j{\ X}_C+j{\ X}_L\right) $$
$$ V=I\bullet Z $$
$$ Z\ =\ R-j{\ X}_C+j{\ X}_L $$

이를 통해 우리는 교류전압에서 주파수에 대한 저항의 변화를 수학적으로 이해할 수 있게 되고 이를 임피던스라고 한다. 여기서 Zre와 Zim은 실수부와 허수부의 저항을 의미하며 모두 측정 가능한 물리 값을 의미한다. (Zim은 비록 허수부의 값이지만 교류에서는 실제하는 값이 된다)

$$ Z\left(w\right)=Z_{re}-jZ_{im} $$