임피던스_RC병렬회로의 임피던스 유도

수동소자를 구성하는 것은 chip들은 결국 소재이다. 소재의 비저항, 유전율, 투자율과 형상계수에 따라 회로성분이 결정된다. 즉 소재의 저항과 커패시턴스를 측정함으로서 비저항 (또는 전도도)와 유전율을 구할 수 있다.

대부분의 고체 세라믹이나 반도체 디바이스의 경우 전자가 지나가지만 동시에 커패시턴스를 가진다. 그러므로 위의 회로와 같이 저항 R과 콘덴서 C가 병렬연결 되어있는 회로를 먼저 고려하자. 
저항을 병렬으로 연결하는 경우 병렬 연결 원리에 의해 합성 저항은 아래 식과 같으며

$$ \frac{1}{R}\ =\ \frac{1}{R1}+\frac{1}{R2}$$

같으며 임피던스도 마찬가지로 병렬 합성저항의 방식을 그대로 적용하며 커패시터의 경우 용량 리엑턴스를 사용한다. 

$$ \ \frac{1}{Z}\ =\ \frac{1}{R}+\frac{1}{\frac{1}{jwC}} $$

위의 식을 Z꼴로 다시 풀어보면

$$ \frac{1}{Z}\ =\ \frac{1}{R}+jwC\ =\ \frac{1+jwRC}{R} $$

$$ Z\ =\ \frac{R}{1+jwRC} $$

허수 j를 분리해내기 위해 식을 다시 정리하면

$$ Z\ =\ \frac{R(1-jwRC)}{(1+jwRC)(1-jwRC)}=\frac{R-jwR^2C}{1+w^2R^2C^2}=\ \frac{R}{1+w^2R^2C^2}\ -\ j\frac{wR^2C}{1+w^2R^2C^2} $$

결과적으로 분리된 임피던스는 실수부와 허수부로 나누어지며, 둘 다 주파수를 변수로 한 함수로서 R, C값을 상수로 가진다. 

$$ Z\prime(real)=\ \frac{R}{1+w^2R^2C^2}\ $$
$$ Z^{\prime\prime}\left(imag\right)=-j\frac{wR^2C}{1+w^2R^2C^2} $$

이를 모식도로 나타낸 아래 그림에서 볼 수 있듯 R과 C로 이루어진 회로의 경우 그려지는 임피던스에서 실수부는 +구역에 허수부는 -구역에 그려지게 된다. 

 

이로부터 Z’와 Z’’로부터 R와 C를 유도해낼 수 있다. 먼저 Z’, Z’’로부터 R은 아래와 같다. 

$$ Z\prime(real)=\ \frac{R}{1+w^2R^2C^2}\ $$
$$ R=Z^\prime\left({1+w}^2R^2C^2\right) $$

wRC가 일반적으로 충분히 작기 때문에 R = Z’가 된다. C를 온전히 고려한다면 아래와 같다. 

$$ R=\frac{1+\sqrt{1-4{Z\prime}^2w^2C^2}}{2Z\prime w^2C^2} $$

또한 Z’, Z’’로부터 C는 아래와 같다. 

$$ C=-\frac{1}{w}\ (\frac{Z\prime\prime}{{Z\prime}^2+{Z\prime\prime}^2}) $$