전자에 의한 X선의 산란 (scattering by electron)

공간을 진행하는 X선은 재료에 입사되면 산란을 일으킨다. 산란이란 "빛이 미립자에 부딪혔을 때, 방향을 바꾸어 여러 방면으로 흩어지는 현상" 인데, 즉 말 그대로 X선이 재료에 의해 퍼지는 것을 의미한다. 

 

X선이 산란할 때는 간섭성(coherent), 비간섭성(incoherent), 형광(fluorescence) 산란이 발생할 수 있다. 간섭성 산란이란 산란될 때 에너지를 잃지 않고 똑같은 에너지를 가진 광자로서 산란되는 것을 의미하고, 비간섭성 산란은 이와 반대로 에너지를 손실된 채로 방출 되는 것을 의미한다. 형광 산란은 X선이 내각 전자를 떼어냄으로서 특정 X선만 방출하는 현상이다. 여기서는 간섭성 산란에 대해서만 고려하기로 하자.

 

전자 1개에 의한 X선의 산란

X선은 전하를 가진 하전입자에 의해 산란되는데 보통 전자에 의해 산란하는 경우가 많다. 우선은 전자 1개에 의해 산란하는 과정을 생각해보자

 

 

입사한 X선은 위의 그림과 같이 평면파로 입사하는데, 전자를 만나면 구면파로 퍼져나가게 된다. 이를 Thomson의 방정식으로 설명할 수 있다.

 

$$I_{e}=I_{0}\frac{e^{4}}{r^{2}m^{2}c^{4}}(\frac{1+\cos^{2}\phi}{2})$$

 

여기서 $I_{e}, I_{0}$는 입사빔과 산란빔의 강도이고, r은 중심점에서 측정 거리, c는 광속이며, $\frac{1+\cos^{2}\phi}{2}$는 산란인자라고 한다. 

 

전자 2개에 의한 X선의 산란

전자 2개에 의한 산란도 생각해보자. 전자가 2개가 있을 때는 X선이 호이겐스 원리에 의해 평면파로 산란되어 나가게 된다. 

 

 

위의 그림처럼 전자2개에 의한 개별의 구면파는 서로 만나서 상쇄가 일어나고 나아가는 구면파의 변위가 맞는 곳에서 wavefront가 생성되어 평면파가 나아가게 된다. 위에서 빨간색 평면파는 결국 까만색 평면파에 의해 다른 방향으로 나아가는 X선 인 것이며 이를 X선이 회절했다고 표현한다. 

 

 

이때 두 전자에 의해 발생하는 파동을 파동의 방정식을 활용하여 해석할 수 있다. 위와 같이 파동1과 파동2가 진행하는데 다음과 같이 경로가 꺾인다면 한 전자에서 다른 전자의 방향벡터를 r로 설정하여 두 파동의 경로차를 구해낼 수 있다. 정사형으로 주황색 부분의 길이를 구하면 r(S-S0)가 되며 이를 파동2의 파동방정식에 대입하면 경로차가 위상차로 적용된 방정식을 얻어낼수 있다.  

 

 

두 방정식을 합하면 파동의 보강, 상쇄간섭을 포함하는 일반화 방정식을 얻어내게 되고 파동방정식 부분을 제외한 곳을 산란하는 정도인 산란진폭으로 정의한다. 상쇄간섭이 일어난다면 방정식 전체가 0이 되고 보강간섭이 일어난다면 방정식의 값을 가지게 된다. 

 

주황색 부분이 산란진폭이다

 

기본적인 파동방정식의 일반화

수식 전개에 이해가 힘들다면 이전 포스팅을 참고하길 추천한다.

 

 

전자 n개에 의한 X선의 산란

만약에 전자가 1개도 2개도 아닌 n개가 공간상에 존재한다면 어떻게 될까? 2개의 전자짝끼리 회절조건이 맞다면 그 전자에 의해 새로운 파면이 형성될 것이다. 모든 산란조건이 전부 작용하면 최대 nC₂ 경우의 서로 다른 파동이 발생한다. n개의 파동방정식을 모두 더해서 각 파동들에 대하여 상쇄와 보강을 고려한다면 전자 n개에 대한 파동방정식을 유도할 수 있다.

 

 

파동방정식을 위에서 2개 전자에 의해 계산했던 것처럼 더해보면 다음과 같은데

 

 

식을 간단하게 정리하고

 

 

방정식에서 파동부분을 묶으면 전자 2개 일때처럼 n개에서 산란진폭을 구할 수 있다.

 

빨간색 부분이 산란진폭이다.