기본적인 파동방정식의 일반화

1. 사인 함수의 수학적 접근 (복습)

일반적으로 파동이 sin함수의 형태를 가지는 형태로 분리된다면 이를 조화파(harmonic wave)라고 한다. 단순히 사인함수로 분해된다는 의미 말고도 이는 파형이 매우 규칙적이고 해석하기 상대적으로 유리하다는 의미이기도 하다. 이러한 조화파는 단순히 음파를 넘어서 전자기학, 고체물리에서도 자연의 현상을 설명하기 위해 많이 응용된다. 

 

이러한 조화파를 수학적으로 해석하기 위해서는 sin(x)함수를 자유롭게 사용할 수 있어야 한다. sin(x)함수의 가장 기본적인 특징을 정리하자면 다음과 같다.

함수에 포함된 상수들은 위와 같은 관계식을 가지는데 이는 sin(x)함수에도 그대로 적용된다.

가장 기본적인 sin(x)의 파형은 다음과 같은데 상수에 따라 아래와 같이 다양한 파형을 가진다.

위의 내용들을 조합하면 아래와 같은 일반화 식을 얻게 된다. 이는 간단한 중학수학의 내용에서 볼 수 있는 내용이다.

 

여기까지가 기본적인 함수의 수학적 접근인데 우리는 단순히 개념속에만 정의되는 수학을 사용하는 것이 아닌 실제 과학적 현상을 이를 통해 풀어내야 한다.

 

2. 조화파의 일반화된 파동방정식

전자기파(조화파)가 sin파의 형태로 v의 속력을 가진 채 이동하는 상황이 존재한다면 이는 위의 sin함수의 성질을 활용하여 다음과 같이 유도해 낼 수 있다.

 

v의 속력을 가진 파동이 t초간 이동하면 그 이동거리는 vt이기에 이를 x축에 대해 대입하고, 파장의 길이를 람다라고 하여 식을 정리하면 아래와 같이 일반화가 가능하다.

일반화된 파동 방정식

이러한 일반화된 파동방정식을 통해 파동의 위치와 속력을 통해 파동의 상태를 확정지을 수 있다.

 

파장과 진동수와 파속의 관계

조화파의 일반방정식에서는 식의 계산상 편의를 위하여 파장과 파동의 속력을 진동수와 주기로 대체하여 계산하기도 한다. X선의 회절과 이동 방향을 나타낼 때는 거의 아래의 식으로 파동을 설명해 나갈테니 자세히 보기를 권장한다.  

 

 

물리학에서는 위와 같은 전개가 아닌 다른 방식으로 주로 파동을 표현한다. (이것도 물리학이지만....) 파동이 나아가는 방향을 벡터로 일반화 시키기 위하여 2π/람다를 k라는 벡터로 설정한다. 이를 파수 혹은 파동벡터라고 하며 일반적으로 파가 나아가는 방향에 수직한다. 

 

3. 조화파의 지수함수로 일반화된 파동방정식

정리된 파동 방정식

파동을 함수로서 표현하여 일반화 하는 것에는 성공했지만 만일 여러개의 파동방정식을 연결해야 하는 경우에는 sin함수가 매우 불편하다. sin, cos함수를 식으로 전개할 때는 더하거나 곱하는 과정들이 필요할 때 매우 복잡해진다. 이를 위해 오일러 공식을 사용하면 위의 sin함수를 계산하기 편한 지수함수 꼴로 표현이 가능하다.

 

그 유명한 오일러 공식

 

 

이때 허수가 포함된 sin2π는 뒤의 값이 무슨 값이든 2π의 배수이고 이는 무조건 sin함수를 0으로 만들어 버리므로 

 

 

다음과 같은 식으로 간략화 되고 cos함수와 sin함수는 π/2 만큼 위상의 차이가 있지만 같은 개형의 함수이므로 이를 감안하여 편의상 cos = sin함수로 근사화 시키면

 

 

다음과 같이 삼각함수를 지수함수로 변환할 수 있다. 이를 앞서 유도된 파동방정식에 대입하면

 

지수함수로 정리된 파동방정식

 

다음과 같이 지수함수로 재정리된 파동방정식을 얻을 수 있다. 앞으로 이를 활용하여 파동을 해석할 것이다.