4.2 7가지 기본격자와 브라베 격자

2. 축간결합의 원리와 구면삼각형

우선 공간상에서 항상 3개의 축이 존재한다고 할때 3개의 축은 3개의 결합각도를 만든다. 1개의 회전축은 그 회전 축의 중심으로 몇도를 회전시켰을때 같은 모습이 되는지 (회전했을때 대칭이 성립하는지) 결정하는 각도가 있다. 이를 위의 그림에서는 대문자로 표시했다. 예를 들어 6 fold 회전축이라면 360/6 = 60, 즉 60도 회전시켰을때 똑같은 모습이 될것이다. 

 

 

하지만 우리는 위의 그림 오른쪽에서 보이듯이 대문자 A, B, C 각도 외에서 소문자 w, u, v로 표시되는 축간 결합각도 존재한다. 축간결합각은 두 축을 지나는 대원의 호 길이와 같아진다. (대원의 반지름은 항상 1이고 결국 단위원이기 때문). 결국 축이 서로 어떤 각도로 결합되어 있는지는 호의 길이를 알면 알 수 있다. (A축과 B축의 결합각은 w이다)

 

여기서 주의할 점은 축간 회전각과 축간 결합각이 혼동되기 쉽다는 것이다. 어떤 결합 종류에서는 축간 결합각과 축간 회전각이 똑같은 경우도 생긴다. 하지만 우리는 축간 회전각을 미리 알고 있는 상태에서 축간 결합각을 구해야 한다. 예를 들어 위의 회전대칭의 상호결합에서 봤던 622 회전결합의 경우에는 축 1개는 6 fold이고 나머지 축 2개는 2 fold가 된다. 

 

수학자 오일러가 증명한 구면좌표계의 관계에서 우리는 A, B, C와 w, u, v의 수학적 관계를 유도해낼 수 있다. 위의 축의 A, B, C가 반지름이 1인 구의 표면에 존재하는 점이라고 한다면, ABC는 구면삼각형을 이룬다. 그리고 그 구면삼각형 ABC의 변 길이는 w, u, v가 된다. 

 

구면삼각형의 코사인법칙 유도

 

구면삼각형의 제 2 코사인법칙에 의해 

 

$$ cos u = \frac{cos A/2+ cosB/2cosC/2}{sinB/2sinC/2} $$ 

$$ cos v = \frac{cos B + cosCcosA}{sinCsinA} $$ 

$$ cos w = \frac{cos C + cosAcosB}{sinAsinB} $$ 

 

가 성립해야 한다. 

 

이 각도관계에 의해 축들은 연결되어야 하며 이에 의해 가능한 조합에 제한이 생긴다.

 

3. 가능한 축간결합

우선 축간결합의